Mykola Matviichuk, Brent Pym, Travis Schedler による先行研究を精読し、特に q-symmetric algebra の変形から射影空間上の二次 Poisson 構造を構成する枠組みと、smoothing diagram を用いた具体例の読み解きを進めた。論文中の ある例を手がかりとして、4次元射影空間 P^4上の generically symplectic な Poisson 構造の具体的な挙動を追跡した。

5つの座標超平面の和として記述される退化因子を持つ対角ポアソン構造から始まる。その上で、smoothing diagram に現れる変形方向のうち1本の edge に対応する変形を取り出して解析し、Poisson bivector が一次変形だけで完成した Poisson 構造になっていることを確認した。これにより、退化因子が H_1+H_2+H_3+Q_k、ここで Q_kは二次超曲面である、に変形したことが分かった。

さらに、この例を別変数方向に拡張して 7 変数の Poisson bivector を考え、6次元射影空間 P^6上での振る舞いも調べた。その結果、適切な超平面と二次式で切った部分多様体への制限が Poisson 的に意味を持つこと、またその制限が正則部分上では generically symplectic になることを確認した。一方で、この方法で得られる二次超曲面は特異点を持つ。

今後、この例の構成法を発展させてsmooth な二次超曲面上に generically symplectic な Poisson 構造を構成することができると考えている。