2024年度は Heisenberg double が，Hopf algebroid 構造を持つことと，Lie-Rinehart代数の普遍包絡環が Hopf algebroid 構造を持つことの関係に着目して研究を行った．結果として，sl_2 の borel 部分代数 b_+ に標準的な Lie 双代数構造を入れたものから作られる Heisenberg double H(U_h(b_+)) の場合にこのHopf algebroid 構造 を具体的に書き下すことができた．またあるLie-Rinehart 代数 Hb+ に対してその普遍包絡環がH(U_h(b+)) の古典極限となることを示した．この結果を富山大学での研究集会で発表した．具体的な内容は以下のとおりである． Lie-Rinehart 代数に対して，Lie 代数と同様にその普遍包絡環が定義される．Lie 代数の普遍包絡環はHopf 代数となるが，Lie-Rinehart 代数の普遍包絡環は Hopf algebroid 構造を持つことが知られている．Lie 双代数gに対して，その普遍包絡環の量子化のDrinfel'd double はgから構成されるLie 双代数Dg の普遍包絡環の量子化と同型である．この構成のHeisenberg double における類似として，sl_2のborel 部分代数b_+に対して，Lie-Rinehart 代数Hb_+を構成し，その普遍包絡環の量子化がb_+の普遍包絡環の量子化のHeisenberg double と同型となることを示した．この結果が一般のLie 双代数に拡張可能であるかどうかが次の課題である．