表題番号：2024C-258 日付：2025/04/04
研究課題ヒルベルトーヤコビ形式を特徴付けるフーリエ係数の数論的性質の分析
研究者所属（当時） 資格 氏名
（代表者） 高等学院 教諭 坂田　裕
（連携研究者） 埼玉大学 名誉教授 小嶋　久祉
研究成果概要
微分幾何学や数理物理学等で重要な役割を果たす多変数ジーゲル保型形式と，（岩澤理論などの）代数体上の整数論を展開する上で必要不可欠なヒルベルト保型形式の構造を併せ持つ多変数ヒルベルト-ジーゲル保型形式の構造を調べるために、多変数ヒルベルト-ジーゲル保型形式とヒルベルト保型形式との間の仲介的役割を果たすヒルベルト-ヤコビ形式のフーリエ係数の解析を目指した．特にヒルベルト-ヤコビ形式を特徴付けるフーリエ係数の数論的性質を調べることを念頭に，狭義類数1の総実代数体上で定義されたヒルベルト-ヤコビ形式のフーリエ係数を，多変数ヒルベルト-ジーゲル保型形式のフーリエ-ヤコビ展開から記述し，その集合を具体的に与えた．ただ，与えたフーリエ係数の集合からヒルベルト-ヤコビ形式の特徴付けを行う過程で，ヒルベルト型ではない(実解析的)ヤコビ形式のフーリエ係数も明示する必要も生じた．この実解析的ヤコビ形式は総実ではない代数体上の多変数ジーゲル保型形式のフーリエ-ヤコビ係数に現れる．そこで，任意代数体上の多変数ジーゲル保型形式のフーリエ係数から(フーリエ-ヤコビ展開を通して)実解析的ヤコビ形式のフーリエ係数を求めることにした．ここでは，志村の高次特殊関数論等を用いて任意代数体上のヴェイユ表現から構成された高次ジーゲル-アイゼンシュタイン級数のフーリエ係数を求めた．これにより，ヒルベルト-ヤコビアイゼンシュタイン級数と実解析的ヤコビアイゼンシュタイン級数のフーリエ係数の解析的特徴をそれぞれ定式化することが出来，それぞれの特徴付けが得られた．さらに，ジーゲル-ヴェイユの公式を通じて構成した高次ジーゲル-アイゼンシュタイン級数と結び付く高次テータ級数の積分値も精密に求め，与えたフーリエ係数と比較することで，任意代数体上の高次二次形式の(表現数を一般化した)測度を二次形式の局所密度の積で記述することが出来た．