表題番号：2011A-871 日付：2012/05/09
研究課題非アベール的数論の新展開
研究者所属（当時） 資格 氏名
（代表者） 理工学術院 教授 尾崎　学
研究成果概要
本研究において得られた主たる研究成果について以下で解説する:
代数体のガロワ拡大K/kにおける単数群のガロワコホモロジー群H^i(K/k,E_K)
は基本的な数論的対象である．例えばK/kが不分岐拡大の場合，H^1(K/k,E_K)と
H^2(K/k,E_K)は其々K/kにおけるイデアル類群のcapitulation kernelとcapitulation
cokernelと同型になっている．
一方，代数体の不分岐ガロワ拡大におけるcapitulation
kernelがどのようなアーベル群になるかという問題は古典的な重要問題であり，
これについては，Hilbertの定理94やFurtwaenglerの単項化定理という古典的結果や，
これらの一般化である鈴木の単項化定理が知られている．
これらの結果を踏まえて，GruenbergとWeissは一連の論文で次のような問題を
考察した：
「Gを有限群とする．このとき代数体の不分岐G-拡大に於けるcapitulation kernel
としてどのようなアーベル群が現れるか？　正確に言えば，K/kが代数体の
不分岐G-拡大全体を動くときのH^1(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_1(G)
を決定せよ．」
GruenbergとWeissはこの問題の群論版については十分満足すべき解答を与えたが，
元々の問題を解決するためには，与えられた群論的状況を実現する不分岐拡大の
存在問題が解決されなければならない．
私は従前研究に於いてこの存在問題をGが有限p-群の場合に解決しているので，
この場合にはGruenbergとWeissの結果と合わせてX_1(G)を決定することができる．
さらにGが有限p-群の場合に，K/kが代数体の不分岐G-拡大全体を動くときの
H^i(K/k,E_K)の同型類全体のなす集合X_i(G)をi=0,2の場合にも完全に決定する
ことに成功した．
証明は問題を同値な群論の問題に帰着させて，それを考察することによって得られる．
i=2の場合はさほどの困難はないが，i=0の場合は，ある種のG-加群で，その
-2次元コホモロジー群が自明なものが存在するという群論的事実を示すこと
が鍵となる．そのようなG-加群を数論を用いて構成することによって証明
することができた．