表題番号：2004A-108 日付：2005/03/16
研究課題退化する非線形偏微分方程式の解の研究とその応用
研究者所属（当時） 資格 氏名
（代表者） 教育・総合科学学術院 助手 高木　悟
研究成果概要
　非線形偏微分方程式の一例である退化放物型－双曲型方程式の再正規化消散解について研究した．
　保存則における再正規化消散解については，2004年に小林和夫教授との共同研究でその解を構築し，Benilan らにより導入された再正規化エントロピー解との同値性を示した．本研究ではその結果を，保存則を含む退化放物型－双曲型方程式へ拡張することを試みた．この再正規化消散解の概念は，緩和系モデルにおいて再正規化エントロピー解よりも扱いやすい構造をしているのが特徴である．退化放物型－双曲型方程式における緩和系モデルとしては，一般化ステファン問題などがあり，生物学上の応用面にも優れているため，この理論の拡張をすることは有益である．
　退化放物型－双曲型方程式における再正規化消散解の構築については，Perthame and Souganidis により有界な場合に限った消散解の概念が導入されているので，それを拡張した．一方，Bendahmane and Karlsen により，再正規化エントロピー解の存在性と一意性が証明されているので，この解との同値性を証明した．この際，いわゆる２階の拡散項の影響で Dirac mass が現れるが，連続関数による畳み込みを行うことにより，その困難を克服した．あとは Kruzkov による変数二重法を巧みに適用することにより，再正規化消散解と再正規化エントロピー解の同値性が証明できた．この応用例として，１階と２階の緩和系モデルそれぞれにおいて，再正規化消散解の一意存在性を証明した．この結果は国際雑誌“Communications in Applied Analysis”に掲載される．また，2004年11月に行われた国際会議“The Third Polish-Japanese Days”において講演をし，レビューを受けた．2005年3月に行われる日本数学会年会においても講演する予定である．