表題番号：1998A-598
日付：2002/02/25
研究課題ガロアの逆問題の計算機による構成的研究
| 研究者所属（当時） | 資格 | 氏名 | |
|---|---|---|---|
| （代表者） | 理工学部 | 教授 | 橋本 喜一朗 |
- 研究成果概要
- 与えられた体kと有限群Gに対して、ガロア拡大K/kでそのガロア群Gal（K/k）がGと同型であるものが存在するかどうかを調べ、そのようなK/kを全て求める問題を「ガロアの逆問題」という。一般のGに対しては存在の証明すら未解決の難問である。一方、存在が知られている場合に全てを求める問題に関しては、そのガロア群がGと同型な既約多項式をパラメータ付きで構成し、全てのK/kがパラメータを特殊化することによって得られること（genericな多項式）を示すという手法が考えられる。本研究は、比較的簡単な非アーベル群である二面体群に対して、この手法を計算機の数式処理を利用して実行したもので、以下のような成果を得た：Dn：＝＜α, β｜αn＝β2＝1, βαβ－1＝α－1＞（位数2nの二面体群；nは奇数）とする。このときcos (2π/n)∈kという条件の下で、cをパラメータとする多項式
G (X; c)：＝Пn－1／j=0(X－ζjζj+1)+c (ζj :=ζ j－ζ－j／ζ－ζ－1)
はk （c）上のn次既約多項式であり、そのガロア群はDnと同型になる（ζは１の原始n乗根）。さらに、G（X; c）はk上genericであることが判明した。これは、任意のDn－拡大K/kが以下の様な生成元xを持つ、というそれ自身興味深い定理を示すことにより証明される。
α（x）＝1／－x+ω' β(x)=1／x' (ω:=ζ+1/ζ).
以上の結果はn＝3の場合J. P. Serreにより知られていた事実を著しく一般化したものである。また応用として、k上のgenericなn次巡回多項式で極めて単純な形のものが得られる。与えられた代数体k上にアーベル拡大を構成する問題はHilbertの第12問題として知られる難問であるが、本研究はn次巡回拡大という特別な場合の一般解を与えるものである。