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表題番号：1997A-560 日付：2002/02/25

研究課題２次元外領域でのNavier-Stokes方程式の漸近挙動の研究

	研究者所属（当時）	資格	氏名
（代表者）	理工学部	教授	柴田　良弘

研究成果概要: ２次元外領域でのNavier-Stokes方程式の漸近挙動について次の結果を得た。
　線形化して得られるStokes作用素Aのレゾルベント（λ＋A）^-1にたいして、λ＝0 の近傍で（λ＋A）^-1＝
　つぎに、レゾルベントの展開を応用してStokes semigroup｛e^tA｝の時刻t→∞ でのdecay評価を次のように求めた。
∥e^tAf∥≦C_pqt^{-o（1/q-1/p）}∥f∥q 1＜q≦p≦∞
∥▽e^tAf∥_Lp≦C_pqt^{-(1/q-1/p)-1/2}∥f∥_Lp1＜q≦p≦2
t^-1/q∥f∥_Lp　1＜q≦p, 2＜p≦∞
　この事実を用い Kato argument を応用して Navier-Stokes 方程式の解u(t,x)のt→∞での挙動が次のようになることを示した。
∥u(t,･)∥_Lp＝o(t^-(1/2-1/p)), 2≦p≦∞ ∥▽u(t,･)∥_L2＝o(t^-1/2)
２次元問題の解の存在は Leray-Hopf, 一意性は Lions-Prodi により示されていた。また、∥u(t,･)∥_L2→0t→∞は Masuda により示された。しかし、この収束の order を求めることは解の性質を知る上で重要な問題であった。はじめにこれに挑戦したのは、1993年の Kozono-Ogawa の論文であった。しかしそこでは、L_∞ノルムの評価が optimal ではなかった。また、Stokes 方程式の漸近挙動を調べてもいなかった。この研究では、特にL_∞ノルムの評価の optimal な評価を与えたこと。そして、Stokes semigroup の decay 評価を与えたことが特に注目すべき点である。また方法論的に言えば、レゾルベントの評価等を求める方法は解の性質を知るうえで色々な応用が見込まれる重要なものである。
研究成果の発表
1997年７月
J. MuÑ　oz Rivera and Y. Shibata.
Weiley & Sons Ltd.
Mathematical Methods in the Applied Sciences,
A linear thermoelastic plate equations with Dirichlet boundary condition
1997年８月
P. Galdi, J. Heywood and Y. Shibata
Springer-Verlag
Archiv Rational Mechanics and Analysis
On the global existence and convergence to steady state of Navier-Stokes flow past an obstacle that is started from rest
1997年11月
Y. Shibata
Gakkoutosho
Mathematical Sciences and Applications
An initial boundary value problem for some hyperbolic-parabolic coupled system
1997年11月
Y. Shibata
Gakkoutosho
Mathematical Sciences and Applications
An exterior initial boundary value problem for the Navier-Stokes equation