表題番号：1997A-319
日付：2002/02/25
研究課題四元数環に付随する４種のtheta級数の数論研究
| 研究者所属（当時） | 資格 | 氏名 | |
|---|---|---|---|
| （代表者） | 理工学部 | 教授 | 橋本 喜一朗 |
- 研究成果概要
- 本研究では、有理数体上の正定置四元数環のlevel(q, N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した：
1. ２年前に筆者はType numberT（q, N）をlevelQn、重さ２の保型形式のうち、Atkin Lehner involution Wp（p|qN）の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し、その証明を与えたが、の関係をEichler型ordersのtheta級数によってより具体的に実現する問題を研究した。
2. 与えられたlevel（q, N）に対して、Eichler order の族δ（p s）がつねにT（q, N）個のEichler order の各同型類を尽くすであろう」という従来の予想がqN＜15000の範囲内で検証された。
3. qN＜10000の範囲内で、各（q, N）に対してT（q, N）個のEicher orders から得られる４種類のtheta級数を計算し、その一次独立性を調べた。その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった。これらのtheta級数たちが一次独立であることは、N＝1、でq（q≡1 mod 4）が素数の場合に北岡の予想と呼ばれていたが、多くの反例があり、かつ一次従属の場合には、L-関数のs＝１でのvanishingという興味深い現象と対応している。
4. 3で求めたtheta級数の一次結合からNeben characterを持つcusp form f（z）でHecke作用素の同時固有関数となるものを得て、そのFourier係数を使って、jacobian varietyが志村のアーベル曲面Afと同種になる、種数２の代数曲線の方程式を求めた。
研究成果の発表
1) On modularity conjecture for Q-curves and QM-curves, (with Y. Hasegawa, F.Momose), International J. Math.1999.,to appear
2) Q-curves of degree 5 and jacobian surfaces of GL2-type, Manuscripta Math. 1998, to appear.
3) ２次体上の楕円曲線とＧＬ(２)型アーベル曲面、1997年度日本数学会秋季総合分科会、総合講演・企画特別講演アブストラクト、72-81.
4) 志村のアーベル曲面と種数２の代数曲線、1998早稲田大学整数論シンポジウム報告集、1998.