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表題番号：1997A-125 日付：2002/02/25

研究課題非線形楕円型方程式研究における新技法の開発

	研究者所属（当時）	資格	氏名
（代表者）	理工学部	教授	大谷　光春

研究成果概要: 臨界ソボレフ指数の非線形性を有する、楕円型方程式に関していくつかの興味深い結果が得られた。方程式
（Ｅ）　-Δu=λu+│u│^q-2u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ω
に対して、次の定理が成り立つ。
（１）Ω=Ω_d×　R^N-d（R^Nの非有界柱状領域）、q=2*（2*は、ソボレフ型埋蔵H¹₀ (Ω)⊂L^q(Ω)の臨界指数）、d≧1,N≧4とするとき、任意のλ∈(0,λ₁)、λ₁=inf_ν∈H10(Ω)∥∇_u∥²_^L2/∥u∥<²_^L20に対し、(E)は非自明解をもつ（大谷・石渡）。（この結果は、有界領域に対してよく知られているBrezis-Nirenbergの結果の非有界柱状領域への拡張を与えている。また、λ≦0の場合には、(E)は非自明界を持たないことが知られている（大谷・橋本）。）
（２）Ω=Ω_d×　R^N-d,Ω_dをd-次元円環領域とするとき、q>N_d=2(N-d+1)/(N-d+1-2)ならば、(E)は非自明界（適当なクラスに属する弱解）を持たない（大谷・橋本）。（2＜q≦2*に対しては、(E)は非自明解をゆるすことが知られており（大谷・石渡）、2*＜q≦N_dの場合を解決することが、今後の課題となろう。）
　次に、当面の目標であった、劣微分作用素に対しての写像度を定義することに成功した（大谷・小林）。これは、従来の理論の欠点（例えば「deg(f,G,p)≠0　であってもf(x)=pの解がGに存在するとは限らない」など）を取り除いたものであり、Leray-Schauder型の写像度の理論に沿った拡張になっている。この意味で、従来の理論を大きく越える枠組みを提供するものであり、非線形偏微分方程式への応用が期待される。この為には、摂動理論の確立が今後の最重要課題となろう。
研究成果の発表
1997　Periodic problems for heat convection equations in noncylindrical domains, Funkcialaj Ekvacioj 40 19-39
1997　Nonexistence of weak solutions of nonlinear elliptic equations in exterior domains, Houston J. Math. 23, 267-290
1997　Nonexistence of positive solutions for some quasilinear elliptic equations in striplike domains, Discrete and Continuous Dynamical Systems 3, 565-578